Matematika Kelas 7 SMP/MTs BAB II : Himpunan

a. Konsep Himpunan

Di dalam kehidupan sehari-hari, kata himpunan ini dipadankan dengan kumpulan, kelompok, grup, gerombolan. Dalam biologi misalnya kita mengenal kelompok flora dan fauna. Di dalamnya, masih ada lagi kelompok vertebrata, kelompok invertebrata, kelompok dikotil, dan kelompok monokotil. Dalam kehidupan sehari-hari, kalian juga mengenal suku Jawa, suku Madura, suku Batak, dan lain-lain. Semua itu merupakan kelompok. Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gerombolan dalam matematika dikenal dengan istilah himpunan. 

Kalau kalian memperhatikan negara-negara yang lolos dalam Piala Dunia sepak bola di Brasil tahun 2014, maka mereka memiliki klasifikasi keanggotaan. Ada negara-negara yang dikelompokkan sebagai kumpulan negara dengan peringkat atas, ada negara-negara yang dikelompokkan karena berasal dari zona yang sama, dan lain-lain. Dari pengklasifikasian itu, muncullah himpunan negara-negara peserta Piala Dunia 2014.

1. Himpunan negara yang tergabung di grup A adalah Brazil, Kroasia, Meksiko, Kamerun.
2. Himpunan negara yang tergabung di grup E adalah Swiss, Ekuador, Perancis, Honduras.
3. Seluruh peserta dikelompokkan menjadi 8 grup, yaitu grup A, grup B, grup C, grup D, grup E, grup F, grup G, grup H.

SOAL

Pak Darwi, Pak Marto, dan Pak Sumantri adalah penduduk sebuah desa yang pekerjaannya beternak. Ternak yang dipelihara Pak Darwis adalah ayam, bebek, dan kambing. Ternak yang dipelihara Pak Marto adalah kerbau, kambing, dan sapi. Pak Sumantri memelihara ayam dan kambing. Himpunan-himpunan apa saja yang bisa kalian temukan dan sebutkan anggotanya?

JAWAB:

Himpunan-himpunan yang ditemukan dan anggotanya adalah sebagai berikut.

1. Himpunan penduduk desa yang memelihara ternak yaitu {Pak Darwis, Pak Marto, Pak Sumantri}
2. Himpunan hewan ternak peliharaan Pak Darwis yaitu {ayam, bebek, kambing}
3. Himpunan hewan ternak peliharaan Pak Marto yaitu {kerbau, kambing, sapi}
4. Himpunan hewan ternak peliharaan Pak Sumantri yaitu {ayam, kambing}
5. Himpunan hewan ternak berkaki dua yaitu {ayam, bebek}
6. Himpunan hewan ternak berkaki empat yaitu {kambing, sapi, kerbau}

b. Penyajian Himpunan

Cara 1: Mendaftarkan anggotanya (enumerasi)

A = {3, 5, 7}

B = {a, i, u, e, o}

C = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Cara 2: Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

A = Himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8

B = Himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin

C = Himpunan bilangan bulat

Cara 3: Menuliskan notasi pembentuk himpunan

Notasi ini biasanya berbentuk umum {x | P(x)} dimana x mewakili anggota dari himpunan, dan P(x) menyatakan syarat harus dipenuhi oleh x agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut.

A = {x | 1<x<8, x adalah bilangan ganjil}

(dibaca: A adalah himpunan yang anggotanya semua x, dengan (syarat) x lebih dari 1 dan x kurang dari 8 dan x adalah bilangan ganjil)

B = {y | y adalah huruf vokal dalam abjad latin}

C = {z | z adalah bilangan bulat}

c. Kardinalitas Himpunan

• Himpunan makanan kesukaan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah

1. Himpunan makanan kesukaan Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat}
2. Himpunan makanan kesukaan istri Pak Zulkarnaen adalah {ikan asam manis, bakso, jus terong belanda}
3. Himpunan makanan kesukaan anak pertama Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, bakso, jus alpukat}
4. Himpunan makanan kesukaan anak kedua Pak Zulkarnaen adalah {bakso, jus terong belanda}
5. Himpunan makanan kesukaan anak ketiga Pak Zulkarnaen adalah {mie goreng, jus sirsak}

         Jika kalian perhatikan semua himpunan tersebut, banyak anggota himpunan adalah 3.

• Seluruh makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, ikan bakar, bakso, jus alpukat, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak.
• Jika makanan yang sama dituliskan hanya satu kali, maka himpunan makanan yang dipesan Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, udang gorengan, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah 8.

Berdasarkan keterangan di atas, bilangan 3 dan 8 menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa "Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A)."

e. Menemukan Konsep Himpunan Kosong

• Bilangan cacah yang kurang dari 0. Anggota bilangan cacah yang paling kecil adalah 0, sehingga himpunan yang diperoleh adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
• Bilangan ganjil yang habis dibagi 2. Seluruh bilangan ganjil tidak akan habis dibagi dengan 2

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota yang dinotasikan dengan ∅ atau {}.